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2018年至2019年高一下半期第一次月考數學試卷(江西省上饒市“山江湖”協作體)

已知集合,集合,則( )
A. B. C. D.

【答案】A
【解析】
求出集合A,B,即可求出,再利用交集概念即可求解.
由題可得:
所以,所以
故選:A.

已知為等差數列的前項和,若,則數列的公差( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

【答案】B
【解析】
設等差數列的首項為,公差為,由列方程組即可求解。
設等差數列的首項為,公差為,由得:
,解得:
故選:B

某幾何體的三視圖如圖所示,則其體積為( )

A. B. C. D.

【答案】A
【解析】
三視圖複原的幾何體為正方體中的一個四棱錐,再求其底面積與高,即可得到結果.
由三視圖可知幾何體為正方體中的一個四棱錐S-ABCD,
其體積為:V
故選:A

已知數列的前項和為,對任意正整數,則下列關于的論斷中正确的是( )
A. 一定是等差數列 B. 一定是等比數列
C. 可能是等差數列,但不會是等比數列 D. 可能是等比數列,但不會是等差數列

【答案】C
【解析】
試題分析:若數列中所有的項都為0,則滿足,所以數列可能為等差數列;由得:,則,所以,另由得:,即,所以數列不是等比數列。故選C。

将函數y=3sin(2x+)的圖象經過怎樣的平移後所得的圖象關于點(,0)中心對稱
A. 向左平移個單位 B. 向右平移個單位
C. 向左平移個單位 D. 向右平移個單位

【答案】B
【解析】
設出将函數y=sin(2x+)的圖象平移ρ個單位得到關系式,然後将x=﹣代入使其等于0,再由正弦函數的性質可得到ρ的所有值,再對選項進行驗證即可.
假設将函數y=sin(2x+)的圖象平移ρ個單位得到
y=sin(2x+2ρ+)關于點(﹣,0)中心對稱
∴将x=﹣代入得到
sin(﹣+2ρ+)=sin(+2ρ)=0
+2ρ=kπ,∴ρ=﹣+
當k=0時,ρ=﹣,向右平移
故選:B.

設函數 ,若方程恰好有三個根,分别為 ,則的值為( )
A. B. C. D.

【答案】D
【解析】 由題意,則
畫出函數的大緻圖象,如圖所示,
由圖可得,當時,方程恰有三個根,
;由
由圖可知, 與點關于直線對稱;
和點關于對稱, 所以
所以,故選D.

已知定義在R上的函數f(x)=-1(m為實數)為偶函數,記a=f(log0.53),則a,b,c的大小關系為( )
A. a<b<c B. a<c<b C. c<a<b D. c<b<a

【答案】B
【解析】
根據f(x)為偶函數便可求出m=0,從而f(x)=﹣1,根據此函數的奇偶性與單調性即可作出判斷.
解:∵f(x)為偶函數;
∴f(﹣x)=f(x);
﹣1=﹣1;
∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|;
(﹣x﹣m)2=(x﹣m)2;
∴mx=0;
∴m=0;
∴f(x)=﹣1;
∴f(x)在[0,+∞)上單調遞增,并且a=f(||)=f(),
b=f(),c=f(2);
∵0<<2<
∴a<c<b.
故選:B.

正四棱錐的側棱長與底面邊長相等,的中點,則所成角的餘弦值為()
A.
B.
C.
D.

【答案】C
【解析】
試題分析:如圖,設,連接的中位線,故,由異面直線所成角的.設,則,在中,運用餘弦定理可得,故應選C.

已知函數若方程有三個不同的實數根,則實數的取值範圍為( )
A. B. C. D.

【答案】D
【解析】
試題分析:有三個不同的實數根,即與函數由3個不同的交點,如圖,畫出函數的圖像,根據圖像可得,故選D.

為數列的前項和,已知為常數)均為等比數列,則的值可能為( )
A. B. C. D.

【答案】C
【解析】
的公比是否為1分類,可排除,再利用也是等比數列列方程即可得到,分别令,可得隻有時才存在滿足方程,問題得解。
時,令(其中為非零常數),
整理得:,要使得它對任意的恒成立,
則:,解得:,這與為等比數列矛盾.
所以
(其中為非零常數),則,整理得:
,要使得它對任意的恒成立,
,整理得:
,則,解得:,這與為等比數列矛盾.
,則,整理得:,此方程無解。
,則,整理得:,記
,所以上必有一零點。即至少有一個實根.
,則,整理得:,解得:,這與為等比數列矛盾.
故選:C.

函數的對稱中心,則數列的前項和是_________.

【答案】
【解析】
先由已知得到m=1,再計算出,再利用裂項相消法求和.
由已知得到m=1,所以
所以數列的前項和=
故答案為:

若等差數列滿足,則當__________時, 的前項和最大.

【答案】8
【解析】試題分析:由等差數列的性質,,又因為,所以
所以,所以,故數列的前8項最大.

已知,則______。

【答案】1
【解析】
整理得:
由此得到,問題得解。
因為
所以,整理得:
,又
所以,所以
所以

若函數的圖象存在經過原點的對稱軸,則稱為“旋轉對稱函數”,下列函數中是“旋轉對稱函數”的有_________.(填寫所有正确結論的序号)
;②;③.

【答案】①②
【解析】
對于①,求出的反函數為,即可判斷原函數是“旋轉對稱函數”,對于②,驗證得:,即可判斷原函數是“旋轉對稱函數”,對于③,可分析出當時,時,,由函數特征即可判斷③不是“旋轉對稱函數”.
對于①中,的反函數為:,所以函數關于直線對稱,故①是“旋轉對稱函數”.
對于②,,所以函數是偶函數,它關于軸對稱,故②是“旋轉對稱函數”.
對于③,,當時,,則函數的圖像隻可能關于直線對稱,又,當時,,這與函數的圖像關于直線對稱矛盾,故③不是“旋轉對稱函數”.

為各項不相等的等差數列的前項和,已知.
(1)求數列通項公式;
(2)設為數列的前項和,求.

【答案】(1);(2)
【解析】【試題分析】(1)借助等差數列的通項公式及前項和公式建立方程組求解;(2)借助(1)的結論及列項相消法求解:
(1)設的公差為,則由題意知
解得(舍去)或

(2)∵

已知函數f(x)=4cosωx·sin (ω>0)的最小正周期為π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)在區間上的值域.

【答案】(1) ; (2).
【解析】
(1)利用三角恒等變換化簡函數,利用周期性即可得到ω的值;
(2)由題意得到≤2x+利用正弦型函數的圖像與性質,即可得到結果.
(1)f(x)=4cos ωx·sin=2sin ωx·cos ωx+2cos2ωx
(sin 2ωx+cos 2ωx)+=2sin.
因為f(x)的最小正周期為π,且ω>0,從而有=π,故ω=1.
(2)由(1)知,f(x)=2sin.若0≤x≤
≤2x+ ≤sin(2x+)≤1,
2sin的值域是[0,2+].

已知等比數列的前項和為,若,數列滿足.
(1)求數列的通項公式;
(2)求數列的前項和.

【答案】(1); (2)
【解析】
(1)由題意列關于首項與公比的方程組,解之即可得到結果;
(2)由(1)知,,利用錯位相減法即可得到數列的前項和.
(1)設等比數列的公比為
因為
解得,所以
(2)由(1)知,


兩式相減得

已知函數
(1)求函數的最小正周期與單調增區間;
(2)設集合,若,求實數的取值範圍

【答案】(1)最小正周期 (2)
【解析】
(1)先化簡函數得,再求函數的最小正周期和單調遞增區間.(2)先由題得,再求f(x)的最大值和最小值,即得m的範圍.
(1)=
=
所以函數f(x)的最小正周期T=π.

函數f(x)的單調遞增區間為.
(2)由 ,即f(x)-2<m<f(x)+2.
因為,
時,不等式f(x)-2<m<f(x)+2恒成立,
所以
因為
所以.

(本小題滿分12分)已知圓C過點P(1,1),且與圓M:關于直線對稱.
(1)求圓C的方程:
(2)設Q為圓C上的一個動點,求最小值;
(3)過點P作兩條相異直線分别與圓C交與A,B,且直線PA和直線PB的傾斜角互補,O為坐标原點,試判斷直線OP與直線AB是否平行?請說明理由.

【答案】(1);(2)-4;(3)平行.
【解析】
試題(1)由題意圓心與圓心關于直線對稱;(2)設,由(1)有,可設,代入可求得的最小值;(3)本題證明用解析法,由于直線PA和直線PB的傾斜角互補,設方程為,則方程為,把它們代入圓的方程求得的坐标,計算得,即
試題解析:(1)設圓心C(a,b),則 解得 a=0 b=0
所以圓C的方程為 , 将點P的坐标代人得, 所以圓C的方程為
(2)設Q(x,y) ,則
所以
所以的最小值為 -4 (可由線性規劃或三角代換求得)
(3)由題意可知,直線PA和直線PB的斜率存在且互為相反數
故 可設PA: PB:

因為點P的橫坐标是 x=1,一定是方程的解 故可得
同理
所以
所以直線OP與直線AB一定平行.

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