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吉林市高三數學高考模拟(2019年下學期)附答案與解析

已知集合,則( )
A. B. C. D.

【答案】C
【解析】
求出集合B,由此能求出A∪B.
∵集合
∴A∪B=
故選:C.

歐拉公式為虛數單位)是由瑞士著名數學家歐拉發明的,它将指數函數的定義域擴大到複數,建立了三角函數與指數函數的關系,它在複變函數論裡占有非常重要的地位,被譽為“數學中的天橋”,表示的複數位于複平面内( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A
【解析】
根據新定義,化簡即可得出答案.
cosisini,
i)=i,
此複數在複平面中對應的點()位于第一象限,
故選:A.

已知角的終邊經過點,則的值為( )
A. B. C. D.

【答案】B
【解析】
先求出點P到原點的距離,再用三角函數的定義依次算出正、餘弦值,利用二倍角公式計算結果即可.
角α的終邊經過點p(﹣1,),其到原點的距離r2
故sinα,cosα
sinαcosα
故選:B.

已知命題,“為假”是“為真”的
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件

【答案】A
【解析】解:若“為假”,則“p”為真,“為真”,充分性成立;
若“為真”,則“p”為真或“q”為真,
即“為假” 或“為假”,必要性不成立;
綜上可得:“為假”是“為真”的充分不必要條件 .
本題選擇A選項.

某幾何體的三視圖如下圖所示,且該幾何體的體積為2,則正視圖的面積( )

A. 2 B. 1 C. D.

【答案】A
【解析】
由三視圖可知:該幾何體為四棱錐P﹣ABCD,其中底面BACD為直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,AB=2,BC=1,AD=2,PA⊥底面ABCD.即可得出.
由三視圖可知:該幾何體為四棱錐P﹣ABCD,

其中底面BACD為直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,AB=2,BC=1,AD=2,PA⊥底面ABCD.
2,解得x=2.
∴正視圖的面積S2.
故選A.

已知雙曲線的實軸長是虛軸長的倍,則雙曲線的漸近線方程為( )
A. B. C. D.

【答案】C
【解析】
通過2a=b,直接求解雙曲線的漸近線方程即可.
雙曲線的實軸長2a、虛軸長:2b,∴2a=b,
即a=b.
∴漸近線方程為:y=±x=
故選:C.

函數圖像上相鄰的最高點和最低點之間的距離為( )
A. B. C. D.

【答案】A
【解析】
的周期是2π,最大值為,最小值為﹣,即可求出相鄰的最高點和最低點之間的距離.
的周期是2π,最大值為,最小值為﹣
∴相鄰的最高點和最低點的橫坐标之差為半個周期π,縱坐标之差為
圖象上相鄰的最高點和最低點之間的距離是
故選:A.

已知是圓内過點的最短弦,則等于( )
A. B. C. D.

【答案】D
【解析】
求出圓的标準方程,确定最短弦的條件,利用弦長公式進行求解即可.
圓的标準方程為(x﹣3)2+(y+1)2=10,則圓心坐标為C(3,﹣1),半徑為
過E的最短弦滿足E恰好為C在弦上垂足,則CE
則|AB|
故選:D.

執行如圖所示的程序框圖,則輸出的值為( )

A. B. C. 2 D. 3

【答案】C
【解析】
由已知中的程序語句可知:該程序的功能是利用循環結構計算并輸出變量s的值,模拟程序的運行過程,分析循環中各變量值的變化情況,可得答案.
模拟程序的運行,可得
s=3,i=1
滿足條件i,執行循環體s=3+,i=2
滿足條件i,執行循環體s=3++,i=3,
滿足條件i,執行循環體,s=3++,i=4,
不滿足條件i退出循環,輸出s的值為s=
故選:C.

已知圓錐的高為3,底面半徑長為4,若一球的表面積與此圓錐側面積相等,則該球的半徑長為( )
A. 5 B. C. 9 D. 3

【答案】B
【解析】
由已知中圓錐的底面半徑和高,求出圓錐的母線長,代入圓錐側面積公式,求出圓錐側面積,利用球的表面積與此圓錐側面積相等,可得答案.
∵圓錐的底面半徑r=4,高h=3,
∴圓錐的母線l=5,
∴圓錐側面積S=πrl=20π,
設球的半徑為r,則4πr2=20π,∴r
故選:B.

中,角的對邊分别為,且,則面積的最大值為( )
A. B. 4 C. D.

【答案】C
【解析】
通過正弦定理化簡表達式,利用餘弦定理求出C的大小,進而利用餘弦定理可求ab≤9,利用三角形面積公式即可計算得解.

由正弦定理,得a2=(a﹣b)b+c2,
即a2+b2﹣c2=ab.①
由餘弦定理得cosC
結合0<C<π,得C
∵c=4,
∴由餘弦定理可得:16=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab,當且僅當a=b等号成立,
∴S△ABC,即△ABC面積的最大值為
故選:C.

已知抛物線的焦點,點為抛物線上一點,且不在直線上,則周長取最小值時,線段的長為( )
A. 1 B. C. 5 D.

【答案】B
【解析】
求△PAF周長的最小值,即求|PA|+|PF|的最小值.設點P在準線上的射影為D,則根據抛物線的定義,可知|PF|=|PD|.因此問題轉化為求|PA|+|PD|的最小值,根據平面幾何知識,當D、P、A三點共線時|PA|+|PD|最小,由此即可求出P的坐标,然後求解PF長度.
求△PAF周長的最小值,即求|PA|+|PF|的最小值,
設點P在準線上的射影為D,
根據抛物線的定義,可知|PF|=|PD|
因此,|PA|+|PF|的最小值,即|PA|+|PD|的最小值
根據平面幾何知識,可得當D,P,A三點共線時|PA|+|PD|最小,
此時P(,3),F(1,0)的長為
故選:B.

利用分層抽樣的方法在學生總數為1200的年級中抽取30名學生,其中女生人數14人,則該年級男生人數為_____.

【答案】640
【解析】
先求得分層抽樣的抽取比例,根據樣本中女生抽到的人數,求總體中女生數,可得總體中男生數.
分層抽樣的抽取比例為
又女生抽到了14人,∴女生數為560.
∴男生數為1200﹣560=640.
故答案為:640.

已知向量,若,則實數_____.

【答案】-1
【解析】
由條件得到共線反向,求出m的值即可.
因為向量,則共線反向,
所以m=-1,
故答案為:-1.

已知實數滿足,則目标函數的最大值為____.

【答案】5
【解析】
作出不等式組對應的平面區域,利用數形結合即可得到z的最大值.
作出實數x,y滿足對應的平面區域,如圖:

由z=2x+y得y=﹣2x+z,
平移直線y=﹣2x+z由圖象可知當直線y=﹣2x+z經過點A時,直線y=﹣2x+z的截距最大.又聯立得A(2,1)
此時z最大,此時z的最大值為z=2×2+1=5,
故答案為5.

已知函數,實數滿足,且,若在區間上的最大值是2,則的值為__________.

【答案】
【解析】
利用函數的單調性可得||=2,或=2,分别檢驗兩種情況下的最大值是否為2,可得結論.
由題意得﹣,∴n,且,
又函數在(0,1)上是減函數,在(1,+∞)上是增函數,
∴||=2,或=2.
∴當||=2時,m,又n,∴n=e,此時,f(x)在區間[m2,n]上的最大值為2,滿足條件.
=2時,n=,m,此時,f(x)在區間[m2,n]上的最大值為||=4,不滿足條件.
綜上,n=e,m,
故答案為

已知等差數列中,為方程的兩個根,數列的前項和為.
(1)求
(2)在(1)的條件下,記的前項和為,求證:.

【答案】(1)(2)見證明
【解析】
(1)先解得方程的兩根,再由等差數列通項公式得與d,可得再利用等差數列前n項和公式求出.
(2)由(1)得到,利用裂項相消法求和即可.
由方程的兩個根分别為3,5,得
設公差為,則,解得:

.
(2)依題意

2018年11月15日,我市召開全市創建全國文明城市動員大會,會議向全市人民發出動員令,吹響了集結号.為了了解哪些人更關注此活動,某機構随機抽取了年齡在15~75歲之間的100人進行調查,并按年齡繪制的頻率分布直方圖如圖所示,其分組區間為:.把年齡落在内的人分别稱為“青少年人”和“中老年人”,經統計“青少年人”與“中老年人”的人數之比為.

(1)求圖中的值,若以每個小區間的中點值代替該區間的平均值,估計這100人年齡的平均值
(2)若“青少年人”中有15人關注此活動,根據已知條件完成題中的列聯表,根據此統計結果,問能否有的把握認為“中老年人”比“青少年人”更加關注此活動?

關注

不關注

合計

青少年人

15

中老年人

合計

50

50

100

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828


附參考公式:,其中.

【答案】(1) (2)見解析
【解析】
(1)根據頻率分布直方圖中前兩個小矩形的面積和為,後四個小矩形的面積和為求出a,b,再利用頻率分布直方圖中平均數的計算公式直接求
(2)依題意完成2×2列聯表,計算K2,對照臨界值得出結論.
(1)依題意,青少年人,中老年人的頻率分别為



(2)由題意可知,“青少年人”共有,“中老年人”共有
完成列聯表如下:

關注

不關注

合計

青少年人

15

25

40

中老年人

35

25

60

合計

50

50

100

結合列聯表
故沒有把握認為“中老年人”比青少年人“更加關注此活動.

如圖,在三棱錐中,的中點.

(1)求證:
(2)求點到平面的距離.

【答案】(1)見證明(2)
【解析】
(1)由已知可得,又,由線面垂直的判定定理得到,進而得到結合,又可證得,再由線面垂直的性質得到AB⊥PA;
(2)利用,可得,再利用已知數據求解即可.
(1)在等邊中,中點

,且

平面



.
(2)在中,,∴,同理
故在中,邊上的高
設點到平面的距離為.


即點到平面的距離為

已知橢圓的短軸長為2,且離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若橢圓的右焦點,右頂點分别為,過的直線交橢圓于兩點,求四邊形為坐标原點)面積的最大值.

【答案】(1)(2)
【解析】
(1)根據橢圓的性質,即可求得a和b的值,即可求得橢圓的标準方程;
(2)設出直線的方程為,與橢圓方程聯立,化為關于y的方程,利用根與系數的關系及三角形面積公式可得四邊形面積,再由換元法結合“對勾函數”的單調性求得最值.
(1)依題意,則
,解得,橢圓的方程為.
(2)由(1)知,設的方程為
的方程與橢圓方程聯立,整理得
顯然

,則
當且僅當(即)時,等号成立,故所求四邊形面積的最大值為.

已知函數
(1)若,求處的切線方程;
(2)若上有零點,求的取值範圍.

【答案】(1)(2)
【解析】
(1)對函數進行求導,由得切線的斜率,再由,利用點斜式得到切線方程.
(2)利用導數對m分類讨論說明的單調性及極值,結合零點存在定理分别列出不等式,可求解m的範圍.
(1)時,
.故所求切線方程為,即.
(2)依題意
①當時,上單調遞減,依題意,,解得
故此時.
②當時,上單調遞增,依題意,,即
此不等式無解.(注:亦可由得出,此時函數無零點)
③當時,若單調遞增,
單調遞減,
時,.
故隻需,即,又
故此時
綜上,所求的範圍為.

選修4-4:坐标系與參數方程
在直角坐标系中,曲線的參數方程為為參數),以坐标原點為極點,以軸正半軸為極軸建立極坐标系,曲線的極坐标方程為.
(1)求曲線的普通方程與曲線的直角坐标方程;
(2)若交于兩點,點的極坐标為,求的值.

【答案】(1)曲線普通方程為曲線的直角坐标方程為(2)
【解析】
(1)将曲線的參數方程中的t消掉得到曲線的普通方程,利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,能求出C2的直角坐标方程.
(2)将代入,得,利用直線參數的幾何意義結合韋達定理,能求出
(1)曲線的參數方程為為參數),兩式相加消去t可得普通方程為;又由ρcosθ=x,ρsinθ=y,
曲線的極坐标方程為轉化為直角坐标方程為
(2)把曲線的參數方程為為參數),代入
對應的參數,則
所以

選修4-5:不等式選講
已知函數.
(1)解不等式
(2)記函數的最小值為,若均為正實數,且,求的最小值.

【答案】(1)(2)
【解析】
(1)分三種情況去絕對值解不等式即可;
(2)由柯西不等式,有.可得a2+b2+c2的最小值.
(1)
所以等價于,解得
所以不等式的解集為
(2)由(1)可知,當時,取得最小值,所以,即

由柯西不等式,整理得
當且僅當,即時等号成立
所以