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2019屆高三第三次調研測試理科數學考試完整版(吉林省吉林市普通中學)

已知集合,則( )
A. B. C. D.

【答案】C
【解析】
根據一元二次不等式的解法求出,則可求
由題意知,所以,所以,故選C

歐拉公式為虛數單位)是由瑞士著名數學家歐拉發明的,它将指數函數的定義域擴大到複數,建立了三角函數與指數函數的關系,它在複變函數論裡占有非常重要的地位,被譽為“數學中的天橋”,表示的複數位于複平面内( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A
【解析】
根據新定義,化簡即可得出答案.
cosisini,
i)=i,
此複數在複平面中對應的點()位于第一象限,
故選:A.

已知角的終邊經過點,則的值為( )
A. B. C. D.

【答案】B
【解析】
先求出點P到原點的距離,再用三角函數的定義依次算出正、餘弦值,利用二倍角公式計算結果即可.
角α的終邊經過點p(﹣1,),其到原點的距離r2
故sinα,cosα
sinαcosα
故選:B.

成等差數列”是“”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件

【答案】A
【解析】成等差數列 ,而 ,但1,3,3,5不成等差數列,所以
成等差數列”是“”的充分不必要條件,選A.

正三棱錐的三視圖如下圖所示,則該正三棱錐的表面積為( )

A. B. C. D.

【答案】A
【解析】
通過三視圖還原出立體圖,通過條件可求得底面正三角形邊長為,則底面積為,側棱長為,則可求側面積為,所以可得表面積.

如圖所示,底面正三角的高AD=3,所以,AB=AC=BC=,所以,又SH為側視圖中的高,所以SH=3,則,則在等腰,所以側面積為,所以表面積為,故選A.

已知雙曲線的焦點到漸近線距離與頂點到漸近線距離之比為,則雙曲線的漸近線方程為( )
A. B. C. D.

【答案】A
【解析】
由題意知,由相似(O為坐标原點)可得,再由,可得,進而可得漸近線方程.

如圖所示,雙曲線頂點為A,焦點為F,過A,F作漸近線的垂線,垂足為B,C,所以相似(O為坐标原點),又由題意知,所以,即,又因為,所以,即所以漸近線方程為:,故選A.

已知是圓内過點的最短弦,則等于( )
A. B. C. D.

【答案】D
【解析】
求出圓的标準方程,确定最短弦的條件,利用弦長公式進行求解即可.
圓的标準方程為(x﹣3)2+(y+1)2=10,則圓心坐标為C(3,﹣1),半徑為
過E的最短弦滿足E恰好為C在弦上垂足,則CE
則|AB|
故選:D.

執行如圖所示的程序框圖,則輸出的值為( )

A. B. C. 2 D. 3

【答案】C
【解析】
由已知中的程序語句可知:該程序的功能是利用循環結構計算并輸出變量s的值,模拟程序的運行過程,分析循環中各變量值的變化情況,可得答案.
模拟程序的運行,可得
s=3,i=1
滿足條件i,執行循環體s=3+,i=2
滿足條件i,執行循環體s=3++,i=3,
滿足條件i,執行循環體,s=3++,i=4,
不滿足條件i退出循環,輸出s的值為s=
故選:C.

将函數的圖像向右平移個周期後,所得圖像對應的函數為,則函數的單調遞增區間為( )
A. B.
C. D.

【答案】B
【解析】
由題意知,然後利用正弦函數的單調性即可得到單調區間。
由題意知,故向右平移個周期,即向右平移 個單位,所以

所以 ,故選B。

已知上的兩個随機數,則滿足的概率為( )
A. B. C. D.

【答案】B
【解析】
因為,則由題意知,滿足條件的區域為與x軸圍成的圖形,由積分求出該圖形的面積,再根據幾何概型的公式可求得概率.

因為為在内随機數,所以點所有的取值構成了邊長為的正方形,所以面積為,如圖所示,做出滿足題意的正方形及的圖像,則滿足的範圍為與x軸圍成的圖形,所以面積,由幾何概型的公式可得,滿足的概率為,所以的概率為,故選B.

已知抛物線的焦點,點為抛物線上一點,且不在直線上,則周長取最小值時,線段的長為( )
A. 1 B. C. 5 D.

【答案】B
【解析】
求△PAF周長的最小值,即求|PA|+|PF|的最小值.設點P在準線上的射影為D,則根據抛物線的定義,可知|PF|=|PD|.因此問題轉化為求|PA|+|PD|的最小值,根據平面幾何知識,當D、P、A三點共線時|PA|+|PD|最小,由此即可求出P的坐标,然後求解PF長度.
求△PAF周長的最小值,即求|PA|+|PF|的最小值,
設點P在準線上的射影為D,
根據抛物線的定義,可知|PF|=|PD|
因此,|PA|+|PF|的最小值,即|PA|+|PD|的最小值
根據平面幾何知識,可得當D,P,A三點共線時|PA|+|PD|最小,
此時P(,3),F(1,0)的長為
故選:B.

設函數上存在導函數,對任意實數,都有,當時,,若,則實數的最小值為( )
A. -1 B. C. D. 1

【答案】C
【解析】
構造函數,因為,所以為單調遞減函數,在根據,可得,即得為偶函數,再将,等價變形,可得,結合的單調性,即可求解.
,則
因為當時,,則
所以當時,為單調遞減函數,
因為
所以
又因為
所以,即為偶函數,
将不等式,等價變形得,即,
又因為為偶函數,且在單調遞減,則在是單調遞增,,解得,所以的最小值為.

的展開式中含項的系數為___________.

【答案】40
【解析】的展開式的通項為 ,令 ,所以展開式中含的項為,因此的系數為40,故答案為.
【方法點晴】本題主要考查二項展開式定理的通項與系數,屬于簡單題. 二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一,關于二項式定理的命題方向比較明确,主要從以下幾個方面命題:(1)考查二項展開式的通項公式;(可以考查某一項,也可考查某一項的系數)(2)考查各項系數和和各項的二項式系數和;(3)二項展開式定理的應用.

已知向量,若,則實數_____.

【答案】-1
【解析】
由條件得到共線反向,求出m的值即可.
因為向量,則共線反向,
所以m=-1,
故答案為:-1.

某煤氣站對外輸送煤氣時,用1至5号五個閥門控制,且必須遵守以下操作規則:
(i)若開啟3号,則必須同時開啟4号并且關閉2号;
(ii)若開啟2号或4号,則關閉1号;
(iii)禁止同時關閉5号和1号.
現要開啟3号,則同時開啟的另兩個閥門是__________.

【答案】4号5号
【解析】
3,4同時開啟,且關閉1,2号, 又1,5不能同時關閉,則5開啟。
開啟3号,則必須開啟4号,同時關閉2号。
因為4号開啟,所以1号必須關閉。
因為禁止同時關閉1号和5号,此時1号關閉,則5号必然開啟,所以另外開啟的兩個閥門是4号和5号。

已知函數,若函數恰有2個不同的零點,則實數的取值範圍為______.

【答案】
【解析】
因為,所以,畫出的圖像,通過分析圖像與x軸交點,結合分段函數的性質,可求出a的範圍。

由題意得,即,如圖所示,因為恰有兩個不同的零點,即的圖像與x軸有兩個交點。
若當時,有兩個零點,則令,解得, 則當時,沒有零點,所以
若當時,有一個零點,則當時,必有一個零點,即,綜上

銳角中,角的對邊分别為的面積為
(1)求的值;
(2)若,求的最大值.

【答案】(1)(2)6
【解析】
(1)由三角形面積公式得,化簡整理得
(2)由(1)結論及,可得,可求得,由餘弦定理可得,結合均值定理可得,,即
依題意,得,即
由正弦定理得:
,∴

(2)∵

為銳角,∴
由餘弦定理得,即
,整理得:,即,當且僅當時取等号
的最大值為6.

2018年11月15日,我市召開全市創建全國文明城市動員大會,會議向全市人民發出動員令,吹響了集結号.為了了解哪些人更關注此活動,某機構随機抽取了年齡在15~75歲之間的100人進行調查,并按年齡繪制的頻率分布直方圖如圖所示,其分組區間為:.把年齡落在内的人分别稱為“青少年人”和“中老年人”,經統計“青少年人”與“中老年人”的人數之比為.

(1)求圖中的值,若以每個小區間的中點值代替該區間的平均值,估計這100人年齡的平均值
(2)若“青少年人”中有15人關注此活動,根據已知條件完成題中的列聯表,根據此統計結果,問能否有的把握認為“中老年人”比“青少年人”更加關注此活動?

關注

不關注

合計

青少年人

15

中老年人

合計

50

50

100

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828


附參考公式:,其中.

【答案】(1) (2)見解析
【解析】
(1)根據頻率分布直方圖中前兩個小矩形的面積和為,後四個小矩形的面積和為求出a,b,再利用頻率分布直方圖中平均數的計算公式直接求
(2)依題意完成2×2列聯表,計算K2,對照臨界值得出結論.
(1)依題意,青少年人,中老年人的頻率分别為



(2)由題意可知,“青少年人”共有,“中老年人”共有
完成列聯表如下:

關注

不關注

合計

青少年人

15

25

40

中老年人

35

25

60

合計

50

50

100

結合列聯表
故沒有把握認為“中老年人”比青少年人“更加關注此活動.

如圖所示,四棱錐中,平面的中點.

(1)證明:平面
(2)設二面角,求四棱錐的體積.

【答案】(1)見證明;(2)
【解析】
(1)取PC中點F,連接EF,BF,則可證四邊形為平行四邊形,∴,由線面平行的判定定理即可得證.
(2)設,則,進而可表示出任意點的坐标。由題意知平面,故平面的一個法向量為,又,設平面的法向量,則其中一條法向量,結合二面角,可求出,所以即可求出.
解:(1)證明:取中點,連,則


∴四邊形為平行四邊形

平面平面
平面.
(2)以為原點,分别為軸,建立如圖所示空間直角坐标系

,則
平面,故平面的一個法向量為
,設平面的法向量
.令

依題意,∴,解得
.

已知為橢圓的上、下頂點,,且離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若點為直線上任意一點,交橢圓于兩點,求四邊形面積的最大值.

【答案】(1)(2)
【解析】
(1)依題意,則,結合,可得,帶入方程即可求解。
(2)設,則直線的方程為,帶入橢圓方程化簡得,解得,同理可解,所以 ,帶入數據,結合均值定理,即可求得
解:(1)依題意,則
又由,解得,故橢圓的方程為
(2)設(不妨設),則直線的方程為
代入橢圓方程化簡得,解得,同理

,則四邊形面積
上單調遞減,∴

已知函數.
(1)若處的切線方程為,求的值;
(2)若為區間上的任意實數,且對任意,總有成立,求實數的最小值.

【答案】(1)(2)3
【解析】
(1)由題意得,即,又,即可解得n.
(2)根據,可得,故上單調遞增,假設,可得,即可去掉絕對值,令,依題意,應滿足上單調遞減,上恒成立. 即上恒成立,令,讨論可得若,若,分析可得的最小值.
解:(1)∵,即
,解得.
(2)依題意,故上單調遞增,不妨設
,原不等式即為.
,依題意,應滿足上單調遞減,
上恒成立.
上恒成立,令,則
(i)若,此時上單調遞增,故此時
(ii)若時,單調遞增;
時,單調遞減;
故此時
故對于任意,滿足題設條件的最小值為3.

選修4-4:坐标系與參數方程
在直角坐标系中,曲線的參數方程為為參數),以坐标原點為極點,以軸正半軸為極軸建立極坐标系,曲線的極坐标方程為.
(1)求曲線的普通方程與曲線的直角坐标方程;
(2)若交于兩點,點的極坐标為,求的值.

【答案】(1)曲線普通方程為曲線的直角坐标方程為(2)
【解析】
(1)将曲線的參數方程中的t消掉得到曲線的普通方程,利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,能求出C2的直角坐标方程.
(2)将代入,得,利用直線參數的幾何意義結合韋達定理,能求出
(1)曲線的參數方程為為參數),兩式相加消去t可得普通方程為;又由ρcosθ=x,ρsinθ=y,
曲線的極坐标方程為轉化為直角坐标方程為
(2)把曲線的參數方程為為參數),代入
對應的參數,則
所以

選修4-5:不等式選講
已知函數.
(1)解不等式
(2)記函數的最小值為,若均為正實數,且,求的最小值.

【答案】(1)(2)
【解析】
(1)分三種情況去絕對值解不等式即可;
(2)由柯西不等式,有.可得a2+b2+c2的最小值.
(1)
所以等價于,解得
所以不等式的解集為
(2)由(1)可知,當時,取得最小值,所以,即

由柯西不等式,整理得
當且僅當,即時等号成立
所以的最小值為.

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