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山東師範大學附屬中學2019年高三數學上學期高考模拟網上考試練習

已知集合,則  
A. B. C. D.

【答案】A
【解析】
由A與B,求出兩集合的交集即可.
集合,則
故選:A.

設複數是虛數單位,則  
A. B. C. D.

【答案】B
【解析】
代入,再由複數代數形式的乘除運算化簡得答案.


故選:B.

命題的否定是  
A. B.
C. D.

【答案】C
【解析】
根據全稱命題的否定為特稱命題,即可得到答案
全稱命題的否定為特稱命題,命題的否定是
故選:C.

在等差數列中,,則數列的前11項和( )
A. 8 B. 16 C. 22 D. 44

【答案】C
【解析】
本道題利用,得到,再利用,計算結果,即可得出答案.
利用等差數列滿足,代入,得到
,解得
,故選C.

中,,AD為BC邊上的高,O為AD的中點,若,則  
A. 1 B. C. D.

【答案】D
【解析】
通過解直角三角形得到,利用向量的三角形法則及向量共線的充要條件表示出利用向量共線的充要條件表示出,根據平面向量就不定理求出值.
中,

所以

為AD的中點




故選:D.

如圖, 一個四棱錐的底面為正方形,其三視圖如圖所示,則這個四棱錐的體積為( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B
【解析】
由三視圖可知高為,應選B

設函數是定義在R上的奇函數,當時,,則  
A. 2 B. 1 C. D.

【答案】C
【解析】
根據題意,由函數的解析式可得的值,結合函數的奇偶性可得的值,則有,結合函數的解析式計算可得答案.
根據題意,當時,,則
又由函數為奇函數,則

故選:C.

定義運算: ,将函數的圖象向左平移個單位,所得圖象對應的函數為偶函數,則的最小值是( )
A. B. C. D.

【答案】B
【解析】由題意,得,将函數的圖象向左平移個單位,所得圖象對應的函數為,因為為偶函數,所以,即,則即的最小正值是;故選B.

已知三棱錐的底面是以為斜邊的等腰直角三角形,且,則該三棱錐的外接球的表面積為
A. B. C. D.

【答案】D
【解析】
說明S在底面上的射影是AB的中點,也是底面外接圓的圓心,求出球的半徑,即可求出外接球的表面積.
由題意,點S在底面上的射影D是AB的中點,是三角形ABC的外心,

令球心為O,如圖在直角三角形ODC中,
由于AD=1,SD==
則(﹣R)2+12=R2,
解得R=,則S球=4πR2=
故選:A.

函數的圖象大緻是  
A. B.
C. D.

【答案】A
【解析】
先根據函數的奇偶性,可排除B,C,根據函數值的符号即可排除D.

函數為奇函數,
函數的圖象關于原點對稱,故排除B,C,
時,
單調性是增減交替出現的,故排除,D,
故選:A.

已知直線與圓交于不同的兩點A,B,O是坐标原點,且有,那麼k的取值範圍是  
A. B. 2 C. D. 2

【答案】B
【解析】
根據題意,設圓心到直線的距離為d;由直線與圓相交的性質可得,則有;設的夾角即,由數量積的計算公式可得,變形可得,則,結合直線與圓的位置關系分析可得,解可得,綜合可得答案.
根據題意,圓的圓心為,半徑,設圓心到直線的距離為d;
若直線與圓交于不同的兩點A,B,則,則有
的夾角即
,即,變形可得,則
時,
,則,解可得
則k的取值範圍為
故選:B.

是等比數列的前n項和,若,則______.

【答案】
【解析】
根據題意,設等比數列的公比為q,由等比數列前n項和的性質可得,解可得,進而可得,相比即可得答案.
根據題意,設等比數列的公比為q,
,則,解可得


故答案為:

設實數x、y滿足約束條件,,則的最大值是______.

【答案】
【解析】
先根據約束條件畫出可行域,再轉化目标函數,把求目标函數的最值問題轉化成求截距的最值問題,找到最優解代入求值即可
由約束條件畫出可行域如圖:

目标函數可化為:
得到一簇斜率為,截距為z的平行線
要求z的最大值,須滿足截距最大
當目标函數過點C時截距最大

點C的坐标為
的最大值為:
故答案為:5

若正數x,y滿足,則的最小值是______.

【答案】
【解析】
利用乘“1”法,借助基本不等式即可求出.
正數x,y滿足,則

當且僅當時取等号,
的最小值是12,
故答案為:12

已知雙曲線C:右支上非頂點的一點A關于原點O的對稱點為B,F為其右焦點,若,設,且,則雙曲線C離心率的取值範圍是______.

【答案】
【解析】
設雙曲線的左焦點為,連接,可得四邊形為矩形,運用勾股定理和雙曲線的定義,結合對勾函數的單調性,計算可得所求範圍.
解:設雙曲線的左焦點為,連接
,可得四邊形為矩形,
,即有




,可得
,可得
即有

即有
故答案為:

已知,設.
(1)求的解析式及單調遞增區間;
(2)在中,角所對的邊分别為,且,求的面積.

【答案】(1)答案見解析;(2).
【解析】試題分析:(1)利用數量積的坐标運算可以得到,再逆用二倍角公式和兩角和的正弦得到,最後令解出的範圍即為的單調遞增區間.(2)根據可以得到,再用餘弦定理求出,故面積為.
解析:(1)因為 ,令,解得,所以的單調遞增區間為.
(2)由可得,又,所以,解得.由餘弦定理可知,所以,故,所以.

數列的前n項和為,已知成等比數列.
(I)求數列的通項公式;
(II)若數列滿足,求數列的前n項和.

【答案】(1) 2n−1;(2)Tn=6+(2n−3)×
【解析】試題分析:(1)已知的關系,再寫一項做差, ,(2)由=,得到bn=(2n−1) =,再由錯位相減,的結果.
解析:(I)∵+1=++2,
+1−=2,
∴數列{}是公差為2的等差數列,
,,成等比數列,
=
= (+8),解得=1.
=1+2(n−1)=2n−1.
(II)∵數列{}滿足=
∴bn=(2n−1) =.
∴數列{bn}的前n項和Tn=2+3×+5×+…+
∴2Tn=22+3×+…+(2n−3)×+(2n−1)×
∴Tn=6+(2n−3)×.

四邊形是菱形,是矩形, ,的中點

(I)證明:(II)求二面角的餘弦值.

【答案】(I)略;(II)
【解析】
試題(I)利用中點的性質進行分析即可;(II)以為原點,所在直線為x軸,所在直線為Y軸,所在直線為Z軸 建立空間直角坐标系,通過向量有關知識進行計算即可.
試題解析:
(I) 證法一: 設,的中點為,因為的中點,

是平行四邊形


證法二:因為的中點,





(II)設的中點為是矩形,

四邊形是菱形,Z.X.X.K]
為原點,所在直線為x軸,所在直線為Y軸,所在直線為Z軸 建立空間直角坐标系,



平面的法向量為,平面的法向量為


設二面角的大小為

如圖,設橢圓,長軸的右端點與抛物線的焦點重合,且橢圓的離心率是

(Ⅰ)求橢圓的标準方程;
(Ⅱ)過作直線交抛物線兩點,過且與直線垂直的直線交橢圓于另一點,求面積的最小值,以及取到最小值時直線的方程.

【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)面積的最小值為9, .
【解析】試題分析:(Ⅰ)由已知求出抛物線的焦點坐标即得橢圓中的,再由離心率可求得,從而得值,得标準方程;
(Ⅱ)本題考查圓錐曲線中的三角形面積問題,解題方法是設直線方程為,設,把直線方程代入抛物線方程,化為的一元二次方程,由韋達定理得,由弦長公式得,同樣過與直線垂直的直線方程為,同樣代入橢圓方程,利用韋達定理得,其中點的橫坐标,于是可得,這樣就可用表示出的面積, ,接着可設,用換元法把表示為的函數,利用導數的知識可求得最大值.
試題解析:
(Ⅰ)∵橢圓,長軸的右端點與抛物線的焦點重合,

又∵橢圓的離心率是,∴
∴橢圓的标準方程為
(Ⅱ)過點的直線的方程設為,設
聯立


且與直線垂直的直線設為
聯立
,故

面積
,則
,則,即時, 面積最小,
即當時, 面積的最小值為9,
此時直線的方程為

已知函數(其中為自然對數的底數).
(1)若,求函數在區間上的最大值;
(2)若,關于的方程有且僅有一個根, 求實數的取值範圍;
(3)若對任意,不等式均成立, 求實數的取值範圍.

【答案】(1);(2);(3).
【解析】試題(Ⅰ)求出函數的導數,得到函數的單調區間,從而求出函數的最大值即可;(Ⅱ)若a=-1,關于x的方程f(x)=k•g(x)有且僅有一個根,即,有且隻有一個根,令,可得h(x)極大=h(2)=,h(x)極小=h(1)=,進而可得當k>或0<k<時,k=h(x)有且隻有一個根;(Ⅲ)設,因為在[0,2]單調遞增,故原不等式等價于|f(x1)-f(x2)|<g(x2)-g(x1)在x1、x2∈[0,2],且x1<x2恒成立,當a≥-(ex+2x)恒成立時,a≥-1;當a≤ex-2x恒成立時,a≤2-2ln2,綜合讨論結果,可得實數a的取值範圍
試題解析:(1)當時,, 故上單調遞減,上單調遞增, 當時,, 當時,, 故在區間
(2)當時, 關于的方程為有且僅有一個實根, 則有且僅有一個實根, 設,則,
因此上單調遞減, 在上單調遞增,, 如圖所示, 實數的取值範圍是

(3)不妨設,則恒成立.
因此恒成立, 即恒成立,
恒成立, 因此均在上單調遞增,
,
在上上恒成立, 因此上恒成立因此,而上單調遞減, 因此時,.由上恒成立, 因此上恒成立, 因此,設,則.當時,, 因此内單調遞減, 在内單調遞增,因此.綜上述,

已知曲線C的極坐标方程是ρ=2,以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐标系,直線l的參數方程為 (t為參數).
(1)寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐标方程;
(2)設曲線C經過伸縮變換得到曲線,設M(x,y)為上任意一點,求的最小值,并求相應的點M的坐标.

【答案】(1);(2)當M為時原式取得最小值1.
【解析】試題分析:(1)将直線中的參數消去,即可得到其普通方程,在極坐标方程兩邊平方,由替換即可得到圓的直角坐标方程.(2)由變換公式先寫出變換後的方程為一橢圓,用橢圓的參數方程表示點代入,由三角函數知識求之即可.
試題解析:(1)由,得,代入
得直線的普通方程
,得,∴
(2)∵,∴的直角坐标方程為
∴設,則

∴當,即,上式取最小值
即當的最小值為

選修4-5:不等式選講
已知實數,函數的最大值為3.
(1)求的值;
(2)設函數,若對于均有,求的取值範圍.

【答案】(1) ;(2)
【解析】
試題分析:(1)由絕對值不等式可得;(2)對于均有等價于 ,分别求的最大值與 的最小值,解不等式即可.
試題解析:(1),……2分
所以的最大值為,∴,……4分
(2)當時,,……6分
對于,使得等價于成立,
的對稱軸為,∴為減函數,
的最大值為,……8分
,即,解得
又因為,所以.……10分

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