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宣城市高三數學2019年上半期高考模拟試卷帶解析及答案

如圖,設全集,集合,則圖中陰影部分表示的集合為( )

A. B.
C. D.

【答案】A
【解析】
先由圖可知陰影部分,表示的集合為,再由題中條件,即可得出結果.
圖可知陰影部分表示的集合為,因為集合,所以.故選A

是虛數單位,則複數的共轭複數( )
A. B. C. D.

【答案】A
【解析】
先由複數的除法運算,化簡複數,進而可得其共轭複數.
因為,所以.
故選A

函數的定義域為( )
A. B.
C. D.

【答案】B
【解析】
由題中解析式有意義,列出不等式組,即可求出結果.
由已知得,解得.故選B

是等比數列的前項和,若,則數列的公比是( )
A. B. 1 C. 或1 D. 或1

【答案】D
【解析】
先設數列的公比為,由題中條件可得,進而可求出結果.
設數列的公比為,因為,則,所以,解得或1.
故選D

已知是定義在上的奇函數,且當,若,則( )
A. -2 B. C. D. 2

【答案】D
【解析】
因為是定義在上的奇函數,,且當,又,而,所以不小于0,所以當時,,由,可得,解得.
故選D

若曲線的切線傾斜角的取值範圍是,則( )
A. B. C. D.

【答案】B
【解析】
先對函數求導,再由切線傾斜角的取值範圍是得出斜率範圍,進而可求出結果.
因為,所以
因為傾斜角的取值範圍是,所以斜率,因此,所以.
故選B

是等差數列的前項和,且,則( )
A. 36 B. 45 C. 54 D. 63

【答案】C
【解析】
因為是等差數列的前項和,且
所以,因此,所以.
故選C

若将函數的圖像向左平移個單位,所得圖像關于軸對稱,則的最小正值是( )
A. B. C. D.

【答案】C
【解析】
先由函數平移得到平移後的解析式,再由圖像關于軸對稱,得到,進而可求出結果.
将函數的圖像向左平移個單位,可得,由所得圖像關于軸對稱,可知,得,故的最小正值是.
故選C

滿足約束條件,且的最小值為-1,則( )
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1

【答案】B
【解析】
先由約束條件作出可行域,再由目标函數可化為,表示在軸的截距,結合圖像即可得出結果.
由約束條件畫出可行域如圖,

因為目标函數可化為,表示在軸的截距,由圖像可知:
顯然在直線的交點處取得最小值,
解得交點坐标為,則,解得.
故選B

在1和17之間插入個數,使這個數成等差數列,若這個數中第一個為,第個為,當取最小值時, ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【答案】D
【解析】由題意, ,所以
時,即,即時,有最小值。
所以,得,即,故選D。

已知向量,若,則的值為______.

【答案】
【解析】
先由題中條件求出向量的坐标表示,再由,列方程計算即可得出結果.
因為向量,所以,又,所以,解得.
故答案為

_______.

【答案】10
【解析】
由指數幂運算法則以及對數運算法則即可得出結果.
原式.
故答案為10

如圖,在中,,過點作延長線的垂線交延長線于點,過點延長線的垂線交延長線于點,如此繼續下去,設的面積為的面積為的面積為,…,以此類推,則_______.

【答案】
【解析】
先由題意,分别計算出,進而歸納出,即可得出結果.
因為在中,,過點作延長線的垂線交延長線于點,所以的面積為
又過點延長線的垂線交延長線于點,所以的面積為
如此繼續下去,可得的面積為,…,
故數列是一個以為首項,以4為公比的等比數列,所以
因此.
故答案為

已知數列的各項都是正數,其前項和滿足,則數列的通項公式為_______.

【答案】
【解析】
先由遞推公式求出,再由時,整理,求出,進而可求出結果.
因為數列的各項都是正數,其前項和滿足,所以
時,
時,,即,即,所以數列是等差數列,又,因此,因此,又也滿足,所以.
故答案為

設非直角的内角所對邊的長分别為,則下列結論正确的是_____(寫出所有正确結論的編号).
①“”是“”的充分必要條件
②“”是“”的充分必要條件
③“”是“”的充分必要條件
④“”是“”的充分必要條件
⑤“”是“”的充分必要條件

【答案】①②⑤
【解析】
結合充分條件與必要條件的概念,由正弦定理可判斷①;由餘弦函數的單調性可判斷②;舉出反例可判斷③,④;由二倍角公式和正弦定理可判斷⑤.
由①,利用正弦定理得,故,等價于,反之也成立,所以①正确;
由②,利用函數上單調遞減得,等價于,反之也成立,所以②正确;
由③,不能推出,如為銳角,為鈍角,雖然有,但由大角對大邊得,所以③錯誤;
由④,不能推出,如時,雖然有,但由大角對大邊得,④錯誤;
由⑤,利用二倍角公式得,∴,故等價于,⑤正确.

設函數.
(Ⅰ)求的最大值及最小正周期;
(Ⅱ)讨論在區間上的單調性.

【答案】(Ⅰ) 最大值為,最小正周期為
(Ⅱ)在區間上單調遞增,在區間上單調遞減.
【解析】
(Ⅰ)先對函數函數化簡整理,再由正弦函數的值域與周期,即可得出結果;
(Ⅱ)先由得到,根據正弦函數的單調性,即可求出結果.
(Ⅰ)因為,所以的最大值為,最小正周期為.
(Ⅱ)因為,所以.所以
,即時,單調遞增;
,即時,單調遞減.
綜上可知在區間上單調遞增,在區間上單調遞減.

已知命題:對任意,不等式恒成立;命題:關于的方程有兩個不相等的實數根.若“”為真命題,“”為假命題,求實數的取值範圍.

【答案】
【解析】
根據不等式恒成立,先求出命題為真命題時,的範圍;根據關于的方程有兩個不相等的實數根,可求出命題為真命題時,的範圍;再由“”為真命題,“”為假命題判斷出的真假,進而可求出結果.
,則
是增函數,∴有最小值2,
若命題為真命題,則.
若命題為真命題,則.
為真命題,為假命題,∴一真一假.
真,則真,此時
假,則假,此時,即.
的取值範圍是.

的内角所對邊的長分别為,且.
(Ⅰ)證明:成等差數列;
(Ⅱ)若,求的面積.

【答案】(Ⅰ)見詳解;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)由餘弦定理和,化簡整理即可得出結果;
(Ⅱ)由(Ⅰ)的結論先求出,再由餘弦定理的推理求出,得到,進而可得出結果.
(Ⅰ)由餘弦定理知,又
所以,即,所以
因此成等差數列.
(Ⅱ)因為,由(Ⅰ)可得,所以,因此,所以的面積.

已知數列滿足.
(Ⅰ)證明:數列為等比數列;
(Ⅱ)設,求數列的前項和.

【答案】(Ⅰ)見詳解;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)對,兩邊取以2為底的對數,即可證明結論成立;
(Ⅱ)由(Ⅰ)先求出,再由錯位相減法即可求出結果.
(Ⅰ)由,兩邊取以2為底的對數,得
,所以為等比數列,
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得因為為數列的前項和,所以
.
兩式相減得
所以.

設函數為自然對數的底數.
(Ⅰ)若函數存在兩個零點,求的取值範圍;
(Ⅱ)若對任意恒成立,求實數的取值範圍.

【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:(1)先求導數,讨論導函數符号變化情況:當時, 上單調遞減,最多存在一個零點,不滿足條件;當時,先增後減, 處取得最大值,所以,解得的取值範圍;(2)先變量分離.再研究函數最小值: 處取得最小值,則
試題解析:
(Ⅰ).
時, 上單調遞減,最多存在一個零點,不滿足條件;
時,由解得,當時, ,當時, .
處取得最大值
存在兩個零點,∴,即的取值範圍是.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,故隻需.
,當時, ;當時, .
處取得最小值,則,即的取值範圍是.

設遞增數列滿足成等比數列,且對任意,函數滿足.
(Ⅰ)求數列的通項公式;
(Ⅱ)若數列的前項和為,數列的前項和為,證明:.

【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)見詳解
【解析】
(Ⅰ)先對函數求導,根據可得到以及之間的關系,進而可得結論成立;
(Ⅱ)由(Ⅰ)先求出,進而可求出,再由,即可得出結論成立.
(Ⅰ)因為,所以,又,所以,即,因此是以為首項的等差數列;
設數列的公差為,則,因為成等比數列,所以

解得,所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,所以,因此.
又因為當時,
所以
,故.

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