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2019屆高三模拟考試數學文題帶答案和解析(安徽省安慶市)

若集合 ,則()
A. B. C. D.

【答案】C
【解析】
解出集合M,然後和集合N取交集即可.
由題意得,
.
故選:C.

是虛數單位,則複數的模是()
A. B. C. D.

【答案】B
【解析】
先由複數的乘法運算得到複數z,然後取模即可.
複數,
.
故選:B.

已知是等差數列的前項和,,則()
A. B. C. D.

【答案】B
【解析】
先根據等差數列的性質得到然後利用等差數列的前n項和公式計算即可得到答案.
等差數列

故選:B.

函數,若實數滿足,則()
A. B. C. D.

【答案】D
【解析】
對實數a按進行讨論,根據自變量所在的範圍代入相應的解析式計算即可得到答案.
由分段函數的結構知,其定義域是所以
(1)當時, 解得
(2)當時, 就是,不成立.
故選:D.

如圖,正三棱柱的側棱長為,底面邊長為,一隻螞蟻從點出發沿每個側面爬到,路線為,則螞蟻爬行的最短路程是()

A. B. C. D.

【答案】A
【解析】
畫出棱柱的側面展開圖,由圖可得最短距離為對角線的長,利用勾股定理即可求.
正三棱柱的側面展開圖是如圖所示的矩形,矩形的長為,寬為,則其對角線的長為最短程. 因此螞蟻爬行的最短路程為.
故選:A.

函數的大緻圖像是( )
A. B.
C. D.

【答案】A
【解析】
先由函數的零點排除B,D選項,再根據函數的單調性排除C選項,即可求出結果.
可得,,即函數僅有一個零點,所以排除B,D選項;
,所以由,可得,由,
即函數上單調遞增,在上單調遞減,故排除C.

“勾股圓方圖”是我國古代數學家趙爽設計的一幅用來證明勾股定理的圖案,如圖所示.在“勾股圓方圖”中,四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形.若直角三角形中較小的銳角滿足,則從圖中随機取一點,則此點落在陰影部分的概率是()

A. B. C. D.

【答案】D
【解析】
設大正方形的邊長為5,由已知條件求出小正方形和大正方形的面積,利用幾何概型公式即可得到答案.
設大正方形邊長為,由知直角三角形中較小的直角邊長為,較長的直角邊長為,所以小正方形的邊長為且面積,大正方形的面積為25,則則此點落在陰影部分的概率是.
故選:D.

為了計算,設計如圖所示的程序框圖,則在空白框中應填入()

A. B. C. D.

【答案】B
【解析】
模拟程序框圖的運行過程知該程序運行後輸出的S=N﹣T,由此知空白處應填入的條件.
模拟程序框圖的運行過程知,該程序運行後輸出的是
S=N﹣T=1++…+---…-=(1﹣)+()+…+();
累加步長是2,則在空白處應填入i=i+2.
故選:B.

若函數上的最大值是,則實數()
A. B. C. D.

【答案】C
【解析】
将cos2x寫成,然後轉為求二次函數類型的最值,即可得到m值.
因為

當sinx=1時取到函數的最大值,即
解得m=-3
故選:C.

直線是抛物線在點處的切線,點是圓上的動點,則點到直線的距離的最小值等于()
A. B. C. D.

【答案】C
【解析】
由導數的幾何意義求得切線l的方程,再利用圓心到直線的距離減半徑即為點P到直線的距離的最小值.
抛物線,即,
在點(-2,2)處的切線斜率為-2,則切線l的方程為y-2=-2(x-2),即2x+y+2=0,
所以圓心的距離是,圓的半徑為2,
則點P到直線的距離的最小值是.
故選:C.

如圖是某個幾何體的三視圖,根據圖中數據(單位:)求得該幾何體的表面積是()

A. B. C. D.

【答案】A
【解析】
由三視圖可知該幾何體是一個長方體以一個頂點挖去一個八分之一的球體,利用表面積公式計算即可得到答案.
由三視圖可以看出,該幾何體是一個長方體以一個頂點挖去一個半徑為3的八分之一的球體.則幾何體的表面積為
故選:A.

将函數的圖像向左平移個單位後得到函數的圖像,且函數滿足,則下列命題中正确的是()
A. 函數圖像的兩條相鄰對稱軸之間的距離為
B. 函數圖像關于點對稱
C. 函數圖像關于直線對稱
D. 函數在區間内為單調遞減函數

【答案】D
【解析】
由已知可得時函數的兩條對稱軸,可确定出值,得到f(x)解析式,由平移可得函數g(x)解析式,根據正弦函數的性質對選項逐個檢驗判斷即可得到答案.
因為函數的最大值是,所以,周期是,則故n=1時,
又因為所以,,故
于是函數的圖象向左平移個單位後得到.
函數g(x)周期為,則兩條相鄰對稱軸之間的距離為,故選項A錯誤;
代入函數g(x)解析式,函數值不為0,故選項B錯誤;
代入函數g(x)解析式,函數取不到最值,故選項C錯誤;
時,,由正弦函數圖像可知函數單調遞減,
故選:D.

向量與向量的夾角餘弦值是__________.

【答案】
【解析】
利用向量夾角的公式計算即可得答案.
由已知向量,向量,則
故答案為:

若雙曲線的一條漸近線方程是,則此雙曲線的離心率為_______.

【答案】
【解析】
由雙曲線的漸近線方程可求得a,然後利用離心率公式計算即可.
根據雙曲線方程可知其漸近線方程為,
而已知是一條漸近線方程,則有,解得
又b=2,,則
故答案為:

設實數滿足不等式,則函數的最大值為__________.

【答案】11
【解析】
本題首先可以通過不等式組畫出在平面直角坐标系中所表示的區域,然後将目标函數轉化為與直線平行的直線系,最後根據圖像得出結果。
不等式表示區域如圖中陰影部分所示,

目标函數為,是與直線平行的直線系,
當直線向上平移時,在增大,且過點時達到最大值,
,從而

中,的外心,若,其中.則點的軌迹所對應圖形的面積是__________.

【答案】
【解析】
可畫出圖形,根據餘弦定理即可求出cosA,從而得出A,再根據正弦定理即可求出OB,據題意可知,點P的軌迹為以OB,OC為鄰邊的平行四邊形及内部,從而可求出該軌迹所對應圖形的面積.
由餘弦定理得,,所以.因此由題意知,點的軌迹對應圖形是邊長為的菱形,于是這個菱形的面積是
故答案為:

已知等比數列滿足:
(Ⅰ)求的通項公式及前項和.
(Ⅱ)設,求數列的前項和.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)由可得首項和公比,即可寫出通項和前n項和;(Ⅱ)寫出數列的通項,利用裂項相消求和法可得結果.
(Ⅰ)由題可知,解得,即.所以的通項公式.前項和.
(Ⅱ). 所以數列的前項和.

如圖所示,在三棱柱中,平面是線段上的動點,是線段上的中點.

(Ⅰ)證明:
(Ⅱ)若,且直線所成角的餘弦值為,試指出點在線段上的位置,并求三棱錐的體積.

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)根據棱柱為直棱柱可得平面平面BC,由D為BC中點,得AD垂直BC,由面面垂直的性質定理可得,從而得到證明;(Ⅱ)由直線所成角得,可得長度,從而看确定點E的位置,然後利用可求得所求體積.
(Ⅰ)因為,所以平面ABC.
平面BC,所以平面平面BC.
因為線段的中點為,且是等腰三角形,所以
平面ABC, 平面ABC平面BC=BC ,
所以.又因為,所以
(Ⅱ),則.,即.又,所以,故,所以是直角三角形.
在三棱柱中,,直線所成角的餘弦為
則在中,,所以.
中,,所以.因為
所以點是線段的靠近點的三等分點.
因為
所以.

我們知道,地球上的水資源有限,愛護地球、節約用水是我們每個人的義務和責任.某市政府為了對自來水的使用進行科學管理,節約水資源,計劃确定一個家庭年用水量的标準,為此,對全市家庭日常用水的情況進行抽樣調查,并獲得了個家庭某年的用水量(單位:立方米),統計結果如下表所示.

(Ⅰ)分别求出的值;
(Ⅱ)若以各組區間中點值代表該組的取值,試估計全市家庭平均用水量;
(Ⅲ)從樣本中年用水量在(單位:立方米)的個家庭中任選個,作進一步跟蹤研究,求年用水量最多的家庭被選中的概率(個家庭的年用水量都不相等).

【答案】(Ⅰ)n=200,a=0.0025,b=0.0125;(Ⅱ)27.25;(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)利用頻率等于頻數比總數,即可求出n,a,b的值;(Ⅱ)利用每個矩形的底邊的中點橫坐标與對應的小矩形的面積的乘積,然後作和,即可估計平均用水量;(Ⅲ)
利用列舉法列舉出基本事件的總數,從中找到符合條件的基本事件數,利用古典概型概率公式計算.
(Ⅰ)用水量在内的頻數是,頻率是,則.
用水量在内的頻率是,則.
用水量在内的頻率是,則.
(Ⅱ)估計全市家庭年均用水量為

(Ⅲ)設代表年用水量從多到少的個家庭,從中任選個,總的基本事件為 個,其中包含的有 個.所以. 即年用水量最多的家庭被選中的概率是.

如圖所示,橢圓的左、右頂點分别為,離心率,長軸與短軸的長度之和為.

(Ⅰ)求橢圓的标準方程;
(Ⅱ)在橢圓上任取點(與兩點不重合),直線軸于點,直線軸于點,證明:為定值.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)4
【解析】
(Ⅰ)由題意,2a+2b=10,結合 解得a=3,b=2,即得到橢圓方程;(Ⅱ)設P(x0,y0),直線PA交y軸于點C(0,y1),直線PB交y軸于點D(0,y2),求得直線PA,PB的方程,分别求出y1,y2,再根據向量的數量積即可證明.
(Ⅰ)由題可知,又解得.故橢圓的标準方程為.
(Ⅱ)解法1:設,直線軸于點,直線軸于點.則,即.易知同向,故.
因為,所以得直線的方程為,令,則;直線的方程為,令,則,
所以 ,為定值.
解法2:的左、右頂點分别為,則有
由(Ⅰ)知,設直線的斜率分别為,則.
直線的方程為,令;直線的方程為
.所以.
解法3:的左、右頂點分别為,則
如題圖所示,
.

設函數,其中.函數的圖像在點處的切線與函數的圖像在點處的切線互相垂直.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若上恒成立,求實數的取值範圍.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)求f(x)的導函數,代入g(x),對函數g(x)求導,結合函數f(x)的圖象在點A處的切線與g(x)的圖象在點B處的切線互相垂直列式求t值;(Ⅱ)設函數F(x)=kg(x)﹣2f(x)=2kex(x+1)﹣2x2﹣8x﹣4,(x≥﹣2),求其導函數,分類求得函數最小值,可得k的取值範圍.
(Ⅰ)由得,.
于是,所以.
函數的圖象在點處的切線與函數的圖象在點處的切線互相垂直,所以,即
(Ⅱ).
設函數=),
=.
由題設可知,即.令 .
(1)若,則,此時
,即單調遞減,在單調遞增,所以
最小值.

時,,即恒成立.
②若,此時
單調遞增,而
時,,即恒成立.
③若,此時 .
時, 不能恒成立.
綜上所述,的取值範圍是

在平面直角坐标系中,直線的參數方程為為參數).以原點為極點,以軸為非負半軸為極軸建立極坐标系,兩坐标系相同的長度單位.圓的方程為被圓截得的弦長為.
(Ⅰ)求實數的值;
(Ⅱ)設圓與直線交于點,若點的坐标為,且,求的值.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)先将圓C的方程化成直角坐标方程,直線l化成普通方程,再由圓心到直線的距離以及勾股定理列式可得;(Ⅱ)聯立直線l與圓C的方程,根據韋達定理以及參數的幾何意義可得.
(Ⅰ)由. 直線的普通方程為, 被圓截得的弦長為,所以圓心到的距離為,即解得.
(Ⅱ)法1:當時,将的參數方程代入圓的直角坐标方程得,
,即,由于,故可設是上述方程的兩實根,所以又直線過點,故由上式及的幾何意義得, .
法2:當時點,易知點在直線上. 又
所以點在圓外.聯立消去得,.
不妨設,所以 .

已知.
(Ⅰ)解不等式
(Ⅱ)若不等式對任意的都成立,證明:.

【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)見解析
【解析】
(Ⅰ)分類讨論,去掉絕對值,化為與之等價的三個不等式組,求得每個不等式組的解集,再取并集即可.(Ⅱ)利用絕對值三角不等式求得f(x)的最小值,得到,然後利用基本不等式進行證明即可.
(Ⅰ)就是.
(1)當時,,得.
(2)當時,,得,不成立.
(3)當時,,得.
綜上可知,不等式的解集是.
(Ⅱ)因為
所以.
因為時,,所以,得.
所以.

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